Нарушения при приеме на работу и их последствия - могу ли я принудить организацию исправить запись в трудовой?

В конце 2010 г. пришел работать в организация сначала работали все без трудоустройства, официально всех трудоустроили с 1 января 2011 г, я в это время стоял в центре занятости с руководство была устная договоренность что, после праздников снимаюсь с биржи и меня принимают с 25 января 2011 г. Все так и сделал трудовую вместе вкладышем с биржи принес к этому числу. Заявления о приеме сначала вообще не писали, написали задним число спустя год или больше, забыл написал с принять с 1 января 2015 г. При увольнении мне сказали что мне была переплачена з/п, не отдавали трудовую пришлось деньги. Пришел в центр занятости так этот факт выявили говорят либо исправляйте в трудовой или вносите деньги. Так не имел права работать. Ещё сказали что и организация не имела права принимать меня. Обратился в организацию отказали. Узнал в пенсионном что стаж можно меня за любой год. Могу ли я как-нибудь принудить их исправить запись в трудовой?