Студент отчислен без приказа - как вернуться в институт и продолжить обучение по договору

Можете только договариваться. Это возможно при неудовлетворительном результате . Пробуйте уточнить в ВУЗе на каких условиях Вам разрешат остаться (но если как Вы говорите, уже отчисли, то только восстановление) или восстановиться.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 58. Промежуточная аттестация обучающихся

...

11. Обучающиеся по основным профессиональным образовательным программам, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности, отчисляются из этой организации как не выполнившие обязанностей по добросовестному освоению образовательной программы и выполнению учебного плана.

Если Вам не предоставили полной информации, то предъявляйте претензию об этом.

Ст. 12 Закона РФ "О защите прав потребителей" позволяет Вам взыскать ущерб.

Или договориться в ВУЗом о продолжении обучения.

1. Если потребителю не предоставлена возможность незамедлительно получить при заключении договора информацию о товаре (работе, услуге), он вправе потребовать от продавца (исполнителя) возмещения убытков, причиненных необоснованным уклонением от заключения договора, а если договор заключен, в разумный срок отказаться от его исполнения и потребовать возврата уплаченной за товар суммы и возмещения других убытков.

При отказе от исполнения договора потребитель обязан возвратить товар (результат работы, услуги, если это возможно по их характеру) продавцу (исполнителю).

2. Продавец (исполнитель), не предоставивший покупателю полной и достоверной информации о товаре (работе, услуге), несет ответственность, предусмотренную пунктами 1 - 4 статьи 18 или пунктом 1 статьи 29 настоящего Закона, за недостатки товара (работы, услуги), возникшие после его передачи потребителю вследствие отсутствия у него такой информации.