С какого момента у меня пойдет отсчет времени и где я потом буду забирать свои права?

Решение вступило в силу с момента его обжалования в суде 2-ой инстанции, т.е. как я понимаю у вас это было 19 апреля. Права передаются в соответствующий отдел ГИБДДД для исполнения, срок лишения начинает течь с этого момента или с момента сдачи вами временного разрешения (если еще не сдали) в ГИБДД.