Сроки обжалования решения суда и выдача исполнительного листа вступают в силу - в чем заключается связь?

Чтобы полноценно ответить на Ваш вопрос, необходимо знать в каком судопроизводстве рассматривалось дело - в гражданском или уголовном.

В уголовном процессе:

Статья 356. Сроки обжалования приговоров

1. Жалоба и представление на приговор или иное решение суда первой инстанции могут быть поданы сторонами в апелляционном или кассационном порядке в течение 10 суток со дня провозглашения приговора, а осужденным, содержащимся под стражей, - в тот же срок со дня вручения ему копии приговора.

2. В течение срока, установленного для обжалования судебного решения, уголовное дело не может быть истребовано из суда.

3. Жалоба или представление, поданные с пропуском срока, оставляются без рассмотрения.

Статья 357. Порядок восстановления срока обжалования

1. В случае пропуска срока обжалования по уважительной причине лица, имеющие право подать жалобу или представление, могут ходатайствовать перед судом, постановившим приговор или вынесшим иное обжалуемое решение, о восстановлении пропущенного срока. Ходатайство о восстановлении срока рассматривается в судебном заседании судьей, председательствовавшим в судебном разбирательстве уголовного дела.

2. Пропущенный срок восстанавливается в случае, если копии обжалуемого судебного решения лицам, указанным в частях четвертой и пятой статьи 354 настоящего Кодекса, были вручены по истечении 5 суток со дня его провозглашения.

В гражданском процессе:

Статья 338. Срок подачи кассационных жалобы, представления

Кассационные жалоба, представление могут быть поданы в течение десяти дней со дня принятия решения судом в окончательной форме.

То есть, если решение было оглашено только в резулятивной части, то срок начинает течь со дня вручения или получения по почте решения в окончательной форме.

Статья 209. Вступление в законную силу решений суда

1. Решения суда вступают в законную силу по истечении срока на апелляционное или кассационное обжалование, если они не были обжалованы.

В случае подачи апелляционной жалобы решение мирового судьи вступает в законную силу после рассмотрения районным судом этой жалобы, если обжалуемое решение суда не отменено. Если решением районного суда отменено или изменено решение мирового судьи и принято новое решение, оно вступает в законную силу немедленно.

В случае подачи кассационной жалобы решение суда, если оно не отменено, вступает в законную силу после рассмотрения дела судом кассационной инстанции.

Статья 210. Исполнение решения суда

Решение суда приводится в исполнение после вступления его в законную силу, за исключением случаев немедленного исполнения, в порядке, установленном федеральным законом.

Статья 211. Решения суда, подлежащие немедленному исполнению

Немедленному исполнению подлежит судебный приказ или решение суда о:

взыскании алиментов;

выплате работнику заработной платы в течение трех месяцев;

восстановлении на работе;

включении гражданина Российской Федерации в список избирателей, участников референдума.

То есть, решение суда направляется судебным исполнителям, возбуждается дело об исполнительном производстве и исполнительные листы направляются по назначению для исполнения. А в случае ст. 211 ГПК исполнительные листы судом направляются сразу при вынесения решения.