Как я могу представить запись на диктофоне в качестве доказательства?

Действия ссоседа надо правильно квалифицировать...или тут мелкое хулиганство или оскорбление...а запись можно приложить к заявлению о првлечении соседа к отвественности...напишите заяву в РОВД...если участковый не усмотрит мелкого хулиганства то направит в суд для рассмотрения в порядке дела частного обвинения...

Если обругал нецензурной бранью - это оскорбление, ч. 1 ст. 130 УК РФ. Относится к делам частного обвинения, в этом случае дело возбуждается путем подачи соответствующего заявления в порядке ст. 318 УПК РФ мировому судье по месту совершения преступления (предположу, что по месту Вашего с соседом места жительства). В РОВД обращаться совершенно ни к чему.

По поводу угроз - состав преступления в данном случае будет только тогда, когда Вы докажете, что имели все ОБЪЕКТИВНЫЕ (а не личные субъективные) основания опасаться осуществления угроз. И то - это должны быть угрозы убийством или причинением тяжкого вреда здоровью, а не простые угрозы типа "спущу с лестницы". По 119-й возбуждает дела милиция.

По поводу диктофонной записи - можете представить ее в качестве доказательства оскорбления, например, на заседании у мирового судьи. Однако адвокат Вашего соседа (а у него будет адвокат в обязательном порядке, хотя бы назначенный от государства) тут же заявит, что запись не имеет отношения к делу, т.к. не доказано, когда эта запись сделана, кем и при каких обстоятельствах. Если не найдете иных доказательств - судья вполне может отказать в приобщении записи к материалам дела.