Какое время должно пройти, чтобы банк мог обратиться в суд по просроченной задолженности и что выгоднее - платить неполные суммы или не платить вообще?

В течении 3 лет (ст. 196 ГК РФ) пока не платите, ждите суда, в суде подавайте на снижении неустоек и процентов

Можете самостоятельно обратиться и снизить процент, также приостановить.

ГК РФ Статья 333. Уменьшение неустойки

(в ред. Федерального закона от 08.03.2015 N 42-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Позиции высших судов по ст. 333 ГК РФ >>>

1. Если подлежащая уплате неустойка явно несоразмерна последствиям нарушения обязательства, суд вправе уменьшить неустойку. Если обязательство нарушено лицом, осуществляющим предпринимательскую деятельность, суд вправе уменьшить неустойку при условии заявления должника о таком уменьшении.

2. Уменьшение неустойки, определенной договором и подлежащей уплате лицом, осуществляющим предпринимательскую деятельность, допускается в исключительных случаях, если будет доказано, что взыскание неустойки в предусмотренном договором размере может привести к получению кредитором необоснованной выгоды.

3. Правила настоящей статьи не затрагивают право должника на уменьшение размера его ответственности на основании статьи 404 настоящего Кодекса и право кредитора на возмещение убытков в случаях, предусмотренных статьей 394 настоящего Кодекса.

ГК РФ Статья 203. Перерыв течения срока исковой давности

Позиции высших судов по ст. 203 ГК РФ >>>

Течение срока исковой давности прерывается совершением обязанным лицом действий, свидетельствующих о признании долга.

(в ред. Федерального закона от 07.05.2013 N 100-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

После перерыва течение срока исковой давности начинается заново; время, истекшее до перерыва, не засчитывается в новый срок.

Зачастую в кредитном договоре банки указывают очередность платежей, на которые идут поступающие по обязательству денежные средства, где в качестве первой очереди указаны штрафные санкции. Таким образом, внося суммы недостаточные для исполнения обязательства в полном объеме, Ваши денежные средства пойдут лишь на погашение штрафов и неустоек, а обязательства по возврату основного долга и начисленных процентов останутся неисполненными.

Потому, если нет возможности исполнять свои обязательства по кредиту надлежащим образом, то целесообразнее ждать обращения банка в суд. В соответствии со ст. 333 ГК РФ суд наделен правом снижения неустойки явно несоразмерной допущенному нарушению обязательств.

через какое время просроченной задолженности банк может обратиться в суд?

Данный срок не установлен Законодателем, поскольку это право кредитора, значение имеет факт нарушения/неисполнения условий договора.