Вопрос об увольнении без 2-х недельной отработки из-за проблем с детьми - настаивает ли директор на отработке?

Росина, Извините, а на какую норму права Вы сослались, заявляя директору, что Вы «имеете право уволиться одним днём»? Единственная норма ТК РФ, которая предоставляет гарантии некоторым категориям лиц с семейными обязанностями при расторжении трудового договора — это норма части четвёртой статьи 261, но она к Вам явно не относится, ибо гласит:

Статья 261. Гарантии беременной женщине и лицам с семейными обязанностями при расторжении трудового договора

Расторжение

трудового договора с женщиной, имеющей ребенка в возрасте до трех лет, с

одинокой матерью, воспитывающей ребенка-инвалида в возрасте до

восемнадцати лет или малолетнего ребенка — ребенка в возрасте до

четырнадцати лет, с другим лицом, воспитывающим указанных детей без

матери, с родителем (иным законным представителем ребенка), являющимся

единственным кормильцем ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет

либо единственным кормильцем ребенка в возрасте до трех лет в семье,

воспитывающей трех и более малолетних детей, если другой родитель (иной

законный представитель ребенка) не состоит в трудовых отношениях, по

инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по

основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 — 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса).

(в ред. Федерального закона от 12.11.2012 N 188-ФЗ)

Инициатива расторжения договора была не со стороны работодателя, а наоборот — с Вашей. В этом случае любой работник обязан уведомить работодателя не менее, чем за две недели. Указанный срок можно сократить частично или полностью только по соглашению