Может ли отец ребенка лишить мать родительских прав если ребенок захотел остаться жить с ним?

для лишения прав должны быть законные основания - см. ст. 69 СК

Если их нет - не сможет (это судебный порядок)

Только по этому основанию, не сможет.

Лишь только на этом основании, лишить родительских прав нельзя.

Безосновательно - нет. Одного желания мало.

При наличии оснований - через суд.

Статья 69 СК РФ. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, воспитательного учреждения, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Лишение родительских прав и проживание ребенка с одним из родителей это совсем разные понятия. Если Вы не судимы не привлекались за аморальные поступки и не стоите на учете в ПНД итд и сами не отказываетесь от своих прав то лишить Вас этих прав практически невозможно...

С уважением, Сергей Фесенко.