Как избавиться от долгов и выбраться из квартиры в муниципальной собственности?

Можете. Долг все равно платить придётся. Отказ в снятии с регистрационного учёта незаконен

---Здравствуйте, не факт что можете но можете сделать по другому.

Снятие с регучёта с прежнего места жительства по закону

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 21.05.2012)

"Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию" 31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае: а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.[u][/u] Всего хорошего.

Выписаться можете, но долг придется платить. Вы имеете право в порядке регресса взыскать 2/3 платежей с мамы и сестры в пределах срока исковой давности 3 года.