Можно ли подать Встречный иск к организации, использующей подложные документы, с требованием привлечь по статье 159 УК РФ?

Нет, заявление о привлечении руководителя за мошенничество вы можете подать в полицию.

Это не иск, а заявление в полицию, при этом, будет проведено расследование, если факт подтвердится, то возбудят дело.

привлечь по ст. 159 может полиция....обращайтесь с заявлением о преступлении в отдел полиции по месту его совршения

Для начала заявите встречный иск о признании документов недействительными, с привлечением того ЮЛ.

Если вы хотите привлечь кого-то по ст. 159 УК РФ, нужно написать заявление в полицию