Кто должен писать характеристику рабочему на предприятии в суд (рабочего убили). И как?

для вас это неважно, пишите заявление, в срок три дня должны выдать. ссылайтесь на ст. 62 ТК

Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий

[Трудовой кодекс РФ] [Глава 10] [Статья 62]

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.