Подписывают мое заявление на увольнение с другой датой - имеют ли они на это право?

Если вы не указали в своем заявлении желаемую дату увольнения как свой последний рабочий день (без всяких предлогов "с" перед датой и пр.) с учетом срока предупреждения, установленного законом, то работодатель имеет право не рассматривать ваше заявление вообще или отклонить его.

Если вы указали дату увольнения и работодатель получил ваше заявлением не позднее чем за две недели до нее, то что он напишет вам на нем или даже рисует не имеет никакого значения. Работодатель не имеет права указывать работнику (определять дату увольнения по своему усмотрению), когда ему уволиться. Это право принадлежит работнику. Если вы передали заявление работодателю 22 августа и в заявлении указали дату увольнения как 5 сентября, то по истечении срока вы имеете право прекратить работу , а работодатель в указанный вами день 5 сентября обязан издать приказ об увольнении, выдать расчет и трудовую книжку. ст. 80 ТК РФ, ст. 84.1 ТК РФ.

Если этого не произойдет, вы имеет право оспорить его неправомерные действия или бездействия в суде. При этом выходить на работу и продолжать трудиться 6 сентября нельзя, так как в данном случае трудовые отношения будут продолжены, т.к. фактически возникает ситуация, указанная в части 6 ст. 80 ТК РФ при которой, трудовой договор не расторгнут , а работник не потребовал расторжения.