Как доказать в суде моральный ущерб при ДТП?

Документально. Необходимо представить в суд доказательства причинения вреда здоровью в результате данного ДТП (медицинскую карту, справки, больничный лист и т.д.)

Сумму Вы устанавливаете сами.

Под моральным вредом понимаются нравственные или физические страдания, причиненные действиями (бездействием), посягающими на принадлежащие гражданину от рождения или в силу закона нематериальные блага (жизнь, здоровье, достоинство личности, деловая репутация, неприкосновенность частной жизни, личная и семейная тайна и т.п.), или нарушающими его личные неимущественные права (право на пользование своим именем, право авторства и другие неимущественные права в соответствии с законами об охране прав на результаты интеллектуальной деятельности) либо нарушающими имущественные права гражданина.

Моральный вред, в частности, может заключаться в нравственных переживаниях в связи с утратой родственников, невозможностью продолжать активную общественную жизнь, потерей работы, раскрытием семейной, врачебной тайны, распространением не соответствующих действительности сведений, порочащих честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, временным ограничением или лишением каких-либо прав, физической болью, связанной с причиненным увечьем, иным повреждением здоровья либо в связи с заболеванием, перенесенным в результате нравственных страданий и др.

При этом следует учитывать, что статьей 131 Основ гражданского законодательства Союза ССР и республик установлена ответственность за моральный вред, причиненный гражданину неправомерными действиями, и в том случае, когда в законе отсутствует специальное указание о возможности его компенсации.

(

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 20.12.1994 N 10 (ред. от 06.02.2007) "Некоторые вопросы применения законодательства о компенсации морального вреда")