Отказ в подписании контракта из-за судимостей - как попасть в армию в такой ситуации?

Конечно же отказ, все законно.

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 03.07.2016) "О воинской обязанности и военной службе"(с изм. и доп., вступ. в силу с 04.07.2016)

Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы

2. Первый контракт о прохождении военной службы вправе заключать:

граждане в возрасте от 18 до 40 лет;

5. Основаниями для отказа кандидату, поступающему на военную службу по контракту, в заключении с ним соответствующего контракта являются:

Контракт о прохождении военной службы не может быть заключен с гражданами, в отношении которых вынесен обвинительный приговор и которым назначено наказание, в отношении которых ведется дознание либо предварительное следствие или уголовное дело в отношении которых передано в суд, с гражданами, имеющими неснятую или непогашенную судимость за совершение преступления, отбывавшими наказание в виде лишения свободы, а также с гражданами, подвергнутыми административному наказанию за потребление наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача либо новых потенциально опасных психоактивных веществ, до окончания срока, в течение которого лицо считается подвергнутым административному наказанию. Контракт не может быть заключен с гражданами, лишенными на определенный срок вступившим в законную силу решением суда права занимать воинские должности, в течение указанного срока.