Можно ли бюджетным организациям заключить договор безвозмездного выполнения работ, и на какие статьи Гражданского кодекса следует ссылаться?

Заключение подобного договора возможно.

Можете ссылаться на следующие статьи ГК:

Статья 421. Свобода договора

2. Стороны могут заключить договор, как предусмотренный, так и не предусмотренный законом или иными правовыми актами. К договору, не предусмотренному законом или иными правовыми актами, при отсутствии признаков, указанных в пункте 3 настоящей статьи, правила об отдельных видах договоров, предусмотренных законом или иными правовыми актами, не применяются, что не исключает возможности применения правил об аналогии закона (пункт 1 статьи 6) к отдельным отношениям сторон по договору.

3. Стороны могут заключить договор, в котором содержатся элементы различных договоров, предусмотренных законом или иными правовыми актами (смешанный договор). К отношениям сторон по смешанному договору применяются в соответствующих частях правила о договорах, элементы которых содержатся в смешанном договоре, если иное не вытекает из соглашения сторон или существа смешанного договора.

Статья 423. Возмездный и безвозмездный договоры

2. Безвозмездным признается договор, по которому одна сторона обязуется предоставить что-либо другой стороне без получения от нее платы или иного встречного предоставления.

Готов подготовить Вам соответствующий Договор