Возможно ли вписать меня на оставшуюся часть страховки, если у папы она действует до июня 2017 года?

Папа может пойти в страховую и там вас впишут в полис, а папа немного денег за это доплатит. Все в соответствии с Правилами по ОСАГО

1.9. Если в договоре обязательного страхования указывается ограниченное использование транспортного средства, то страхователь обязан незамедлительно сообщать в письменной форме страховщику до передачи управления транспортным средством водителю, не указанному в страховом полисе обязательного страхования, о появлении у него права на управление данным транспортным средством, а также об изменении периода использования транспортного средства по сравнению с указанным в договоре обязательного страхования периодом. Страхователь обязан сообщить страховщику об увеличении периода использования транспортного средства до истечения указанного в договоре обязательного страхования периода использования транспортного средства.

Замена транспортного средства, указанного в страховом полисе обязательного страхования, изменение срока страхования, а также замена страхователя не допускаются.

1.10. При получении от страхователя заявления об изменении сведений, указанных в заявлении о заключении договора обязательного страхования и (или) представленных при заключении договора обязательного страхования, страховщик вправе требовать уплаты дополнительной страховой премии соразмерно увеличению степени риска исходя из страховых тарифов по обязательному страхованию, действующих на день уплаты дополнительной страховой премии, и при ее уплате обязан внести изменения в страховой полис обязательного страхования.

Изменения в страховой полис обязательного страхования фиксируются путем внесения соответствующей записи в раздел "Особые отметки" с указанием даты и времени внесения изменений и заверения изменений подписью представителя страховщика и печатью страховщика или путем выдачи переоформленного (нового) страхового полиса обязательного страхования в течение двух рабочих дней с даты возвращения страхователем ранее выданного страхового полиса. Возвращенный страхователем страховой полис обязательного страхования хранится у страховщика вместе со вторым экземпляром переоформленного страхового полиса. На первоначальном и переоформленном страховых полисах обязательного страхования делается отметка о переоформлении с указанием даты переоформления и номеров первоначального и переоформленного страховых полисов обязательного страхования