Как сохранить ребенка под опекой знакомой, несмотря на отсутствие близкого родства?

Не все так плохо.

Согласно п. 1 ст. 123 Семейного кодекса РФ:

1. Дети, оставшиеся без попечения родителей, подлежат передаче в семью на воспитание (усыновление (удочерение), под опеку или попечительство, в приемную семью либо в случаях, предусмотренных законами субъектов Российской Федерации, в патронатную семью), а при отсутствии такой возможности временно, на период до их устройства на воспитание в семью, передаются в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, всех типов (статья 155.1 настоящего Кодекса).

При устройстве ребенка должны учитываться его этническое происхождение, принадлежность к определенной религии и культуре, родной язык, возможность обеспечения преемственности в воспитании и образовании.

То есть обязательно должно учитываться то, что предыдущие три года он находился на вашем содержании и воспитании.

Кроме того следует обратить внимание на п. 1 ст. 13 Федерального закона от 24.04.2008 N 48-ФЗ "Об опеке и попечительстве":

1. Родители могут подать в орган опеки и попечительства совместное заявление о назначении их ребенку опекуна или попечителя на период, когда по уважительным причинам они не смогут исполнять свои родительские обязанности, с указанием конкретного лица. В акте органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя по заявлению родителей должен быть указан срок действия полномочий опекуна или попечителя.