Как получить справку о зарплате без согласия бывшего работодателя для поступления на биржу

Без этой справке на биржу не ставят.

вполне законно и обоснованно. Наличие справки для признания безработным - требование Закона "О занятости населения в РФ". Услугу содействия в поиске подходящей работы можно получить и без статуса безработного

Что могу предпринять в этой ситуации?

запросите справку письменным заявлением.

"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 03.07.2016) (с изм. и доп., вступ. В силу с 03.10.2016)

ТК РФ, Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.