Может ли мать, отказавшаяся от ребенка, забрать его обратно? И что для этого нужно?

Из Вашего вопроса не понятно, каким образом она "отказалась" от ребенка, судьба ребенка.

Статья 72 Семейного кодекса РФ-Восстановление в родительских правах

1. Родители (один из них) могут быть восстановлены в родительских правах в случаях, если они изменили поведение, образ жизни и (или) отношение к воспитанию ребенка.

2. Восстановление в родительских правах осуществляется в судебном порядке по заявлению родителя, лишенного родительских прав. Дела о восстановлении в родительских правах рассматриваются с участием органа опеки и попечительства, а также прокурора.

3. Одновременно с заявлением родителей (одного из них) о восстановлении в родительских правах может быть рассмотрено требование о возврате ребенка родителям (одному из них).

4. Суд вправе с учетом мнения ребенка отказать в удовлетворении иска родителей (одного из них) о восстановлении в родительских правах, если восстановление в родительских правах противоречит интересам ребенка.

Восстановление в родительских правах в отношении ребенка, достигшего возраста десяти лет, возможно только с его согласия.

Не допускается восстановление в родительских правах, если ребенок усыновлен и усыновление не отменено (статья 140 настоящего Кодекса).

5. В течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда о восстановлении в родительских правах суд направляет выписку из такого решения суда в орган записи актов гражданского состояния по месту государственной регистрации рождения ребенка.