Как легально забрать родственников из Казахстана в Россию и избежать пересечения границы каждые 3 месяца для бабушки?

Все верно, согласно п.1 ст.5 Федерального закона «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации"

1. Срок временного пребывания иностранного гражданина в Российской Федерации определяется сроком действия выданной ему визы, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом.

Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, не может превышать девяносто суток суммарно в течение каждого периода в сто восемьдесят суток, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом, а также в случае, если такой срок не продлен в соответствии с настоящим Федеральным законом. При этом непрерывный срок временного пребывания в Российской Федерации указанного иностранного гражданина не может превышать девяносто суток

Согласно п.2 ст.5 этого же закона, после истечения срока надо выехать, но есть исключение, вот ПОД эти исключения Вашим родственниками и надо попадать, то есть сделать следующее:

чтобы у него приняли заявление и иные документы, необходимые для получения им разрешения на временное проживание в порядке, предусмотренном статьей 6.1 настоящего Федерального закона

- либо у него принято заявление о выдаче уведомления о возможности приема в гражданство Российской Федерации иностранного гражданина, признанного носителем русского языка в соответствии со статьей 33.1 Федерального закона от 31 мая 2002 года N 62-ФЗ "О гражданстве Российской Федерации"

- либо заявление о выдаче вида на жительство.

Есть еще случаи для высококвалифицированного специалиста при найме на работу, но, как понял, это не тот случай.

Вот, все возможности для не возвращения каждый раз обратно.