Может бабушка оформить опекунство над внуками, не лишая родителей родительских прав, но живущих в другом городе?

Вам надо обратиться в органы опеки и попечительства. Оформить опекунство можно только при отсутствии родителей у ребенка или при лишении их родительских прав.

СК РФ, Статья 145. Установление опеки или попечительства над детьми, оставшимися без попечения родителей.

1. Опека или попечительство устанавливаются над детьми, оставшимися без попечения родителей (пункт 1 статьи 121 настоящего Кодекса), в целях их содержания, воспитания и образования, а также для защиты их прав и интересов.

2. Опека устанавливается над детьми, не достигшими возраста четырнадцати лет.

Попечительство устанавливается над детьми в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет.

3. Отношения, возникающие в связи с установлением, осуществлением и прекращением опеки и попечительства над детьми, оставшимися без попечения родителей, регулируются Гражданским кодексом Российской Федерации, Федеральным законом "Об опеке и попечительстве" и принимаемыми в соответствии с ними иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы семейного права.

4. Устройство ребенка под опеку или попечительство осуществляется с учетом его мнения. Назначение опекуна ребенку, достигшему возраста десяти лет, осуществляется с его согласия.

5. Передача братьев и сестер под опеку или попечительство разным лицам не допускается, за исключением случаев, если такая передача отвечает интересам детей.

6. Устройство ребенка под опеку или попечительство допускается в соответствии с Федеральным законом "Об опеке и попечительстве" по договору об осуществлении опеки или попечительства, в том числе по договору о приемной семье, либо в случаях, предусмотренных законами субъектов Российской Федерации, по договору о патронатной семье (патронате, патронатном воспитании).

7. При устройстве ребенка под опеку или попечительство по договору об осуществлении опеки или попечительства требуется принятие акта органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя, исполняющего свои обязанности возмездно.

При необоснованном уклонении органа опеки и попечительства, который принял акт о назначении опекуна или попечителя, исполняющих свои обязанности возмездно, от заключения договора об осуществлении опеки или попечительства опекун или попечитель вправе предъявить органу опеки и попечительства требования, предусмотренные пунктом 4 статьи 445 Гражданского кодекса Российской Федерации.

При устройстве ребенка под опеку или попечительство по договору об осуществлении опеки или попечительства права и обязанности опекуна или попечителя по представительству и защите прав и законных интересов ребенка возникают с момента принятия акта органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя. Право опекуна или попечителя на вознаграждение возникает с момента заключения этого договора.

Нотариально оформленное разрешение от родителя/ей так называется Временная опека. Но причины должны быть указаны веские.