Как восстановить актовую запись свидетельства о браке, зарегистрированного в Башкирской республике в 1962 году, находясь в Москве?

Чтобы получить за маму, от нее Вам нужда нотариальная доверенность. Заявление о выдаче повторного свидетельства о заключении брака можете подать самостоятельно от своего имени почтой в тот орган ЗАГС, в котором регистрировался брак и выдавалось свидетельство.

Если Вы хотите получить повторно свидетельство о регистрации брака, то нужна нотариально удостоверенная доверенность от матери. Ст.9 Федерального закона от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 03.07.2016) "Об актах гражданского состояния" Повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния выдается:

лицу, в отношении которого была составлена запись акта гражданского состояния;

родственнику умершего или другому заинтересованному лицу в случае, если лицо, в отношении которого была составлена ранее запись акта гражданского состояния, умерло;

родителям (лицам, их заменяющим) или представителю органа опеки и попечительства в случае, если лицо, в отношении которого была составлена запись акта о рождении, не достигло ко дню выдачи повторного свидетельства совершеннолетия (по достижении ребенком совершеннолетия его родителям (одному из родителей) по их просьбе выдается иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации рождения ребенка);

(в ред. Федеральных законов от 12.11.2012 N 183-ФЗ, от 31.12.2014 N 517-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

опекунам лиц, признанных недееспособными;

(абзац введен Федеральным законом от 12.11.2012 N 183-ФЗ)

иному лицу в случае представления нотариально удостоверенной доверенности от лица, имеющего в соответствии с настоящей статьей право на получение повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния.

Что в вашем понимании "восстановить запись"? Мама может выдать доверенность на получение необходимых документов в органах ЗАГСа на ваше имя. ЗАГС дает ответы на такие запросы, оформленные нотариусом при открытии наследства или судом. Успешно решить Ваш вопрос можно только с юридической помощью. Всегда рад Вам помочь!