Какой срок для вступления на учет в центр занятости после сокращения на районах крайнего севера и как это может отразиться на моей оплате?

Ничего Вы не теряете. Оплата производится на основании справки из ЦЗН в течение 4-6 месяцев. В ЦЗН Вам правильно сказали-срок регистрации один месяц. Для РКС другие сроки, чем в ст.178 ТК РФ.Для вас ст.318 ТК РФ

Работнику, увольняемому из организации, расположенной в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, в связи с ликвидацией организации (пункт 1 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) либо сокращением численности или штата работников организации (пункт 2 части первой статьи 81 настоящего Кодекса), выплачивается выходное пособие в размере "среднего месячного заработка", за ним также сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше трех месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется за указанным работником в течение четвертого, пятого и шестого месяцев со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в месячный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен.

Выплата выходного пособия в размере среднего месячного заработка и сохраняемого среднего месячного заработка, предусмотренных частями первой и второй настоящей статьи, производится работодателем по прежнему месту работы за счет средств этого работодателя.