Как прописаться в неприватизированной квартире, если не могу доказать родство?

Имеет значение какая у Вас степень родства с нанимателем.

Детей, супруга, родителей наниматель может вселить без согласия наймодателя, но с письменного согласия зарегистрированных на жилой площади членов семьи.

На вселение иных граждан, в том числе и иных родственников нужно не только согласие нанимателя и членов его семьи, но и согласие наймодателя. В случае отказа наймодателя, можно обратиться в суд с иском о признании членом семьи нанимателя.

ЖК РФ, Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи

1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.

2. Вселение в жилое помещение граждан в качестве членов семьи нанимателя влечет за собой изменение соответствующего договора социального найма жилого помещения в части необходимости указания в данном договоре нового члена семьи нанимателя.