Разве нотариальная доверенность не является документом? Почему нельзя прописать ребёнка по доверенности?

Потому что закон запрещает это. нельзя несовершеннолетнего ребенка регистрировать без личного присутствия его законного представителя и собственника жилого помещения. Смотрите порядок регистрации на сайте гос. услуг.

Здравствуйте!

Правила регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденные Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 23.12.2016)

не предоставляют возможности зарегистрировать гражданина по доверенности.

Здравствуйте, Любовь!

Нотариальная доверенность является документом и, конечно, Вам отказали незаконно! Если хотите биться за свои права, то требуйте предоставить письменный отказ, а затем его обжаловать. НЕ имеют права отказать Вам!