Нужен совет - обязан ли университет доучить студента, если перестал набирать студентов на его специальность?

Не обязан и не вправе. Если обучают по специальности очно или очно-заочно, вам должны предложить выйти из академического отпуска на эти формы обучения. Если ВУЗ не обучает по другим формам, Вам придется найти ВУЗ, в который переведетесь (в государственный можно, если данный негосударственный имел аккредитацию по специальности на момент начала академического отпуска).

Студенты, находившиеся в академическом отпуске или проходившие службу в Вооруженных Силах Российской Федерации, имеют право продолжить обучение по ранее осваиваемой ими ООП в вузе, в котором они обучались, в том числе по ООП, реализуемой в соответствии с ГОС.

В том случае, если ООП, реализующая ГОС, по которой студент обучался до академического отпуска или прохождения им службы в Вооруженных Силах Российской Федерации, к моменту его возвращения в вузе не реализуется, студент имеет право продолжить обучение в данном вузе по ООП, реализующей ФГОС по уровню ВПО.

Направление подготовки (специальность), на которое восстанавливается студент, определяется вузом на основании установленного Минобрнауки России соответствия направлений подготовки высшего профессионального образования, подтверждаемого присвоением лицам квалификаций (степеней) «бакалавр» и «магистр», направлений подготовки (специальностей) высшего профессионального образования, подтверждаемого присвоением лицу квалификации (степени) «специалист», перечень которых утвержден постановлением Правительства Российской Федерации от 30 декабря 2009 г. № 1136 (Собрание законодательства Российской Федерации, 2010, № 2, ст. 199; № 40, ст. 5091), направлениям подготовки (специальностям) высшего профессионального образования, подтверждаемого присвоением лицу квалификации «дипломированный специалист», указанным в Общероссийском классификаторе специальностей по образованию ОК 009-2003, принятом и введенном в действие постановлением Государственного комитета Российской Федерации по стандартизации и метрологии от 30 сентября 2003 г. № 276-ст, с изменениями № 1/2005 ОКСО, введенными в действие Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии с 1 октября 2005 г., и № 2/2010 ОКСО, принятыми приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 31 марта 2010 г. № 48-ст и введенными в действие с 1 июня 2010 г.

Почитайте вот этот документ. Доучить Вас обязаны, но по наиболее близкой специализации.

Письмо Министерства образования и науки РФ от 4 июля 2011 г. № 12-1342 “О приеме в вуз на второй и последующий курсы, восстановлении студентов в высшие учебные заведения”