Возможно ли прописаться в неприватизированной квартире без права на долю и как это юридически оформить?

Да, в квартире будете зарегистрированы, то будете иметь право на участия в приватизации муниципальной квартиры.

Граждане Российской Федерации, имеющие право пользования жилыми помещениями государственного или муниципального жилищного фонда на условиях социального найма, вправе приобрести их на условиях, предусмотренных настоящим Законом, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации и нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, в общую собственность либо в собственность одного лица, в том числе несовершеннолетнего, с согласия всех имеющих право на приватизацию данных жилых помещений совершеннолетних лиц и несовершеннолетних в возрасте от 14 до 18 лет.

(ст. 2 Закона РФ от 04.07.1991 N 1541-1 (ред. от 16.10.2012) "О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации")

Да, в приватизации участвуют лица, имеющие право пользования жилым помещением (наниматель и члены семьи согласно договору социального найма). При постоянной регистрации (по месту жительства) в квартире Вы будете участником приватизации, но при временной регистрации (по месту пребывания) - нет. Просите тестя дать согласие на регистрацию по месту пребывания. Однако наймодатель может отказать в любой регистрации в квартире, если в результате Вашего вселения (регистрации) на каждого будет приходиться общей площади менее учетной нормы жилья.