Наряд дежурных в военной службе - почему ставят только контрактников, и есть ли приказ МО РФ на этот счет?

Нет такого приказа, есть Устав внутренней службы:

Указ Президента РФ от 10.11.2007 N 1495 (ред. от 16.05.2017) "Об утверждении общевоинских уставов Вооруженных Сил Российской Федерации" (вместе с "Уставом внутренней службы Вооруженных Сил Российской Федерации", "Дисциплинарным уставом Вооруженных Сил Российской Федерации", "Уставом гарнизонной и караульной служб Вооруженных Сил Российской Федерации")

Устав внутренней службы Вооруженных Сил Российской Федерации

298. Дежурный по роте назначается из сержантов и, как исключение, из числа наиболее подготовленных солдат. Он отвечает за выполнение распорядка дня (регламента служебного времени) и соблюдение других правил поддержания внутреннего порядка в роте; за сохранность оружия, ящиков с боеприпасами, имущества роты, личных вещей солдат и сержантов и за правильное несение службы дневальными. Дежурный по роте подчиняется дежурному по полку и его помощнику, а в порядке внутренней службы в роте - командиру роты и старшине роты.