Может ли быть судьёй человек, у которого родственник в психбольнице.

Может быть. Если сам кандидат в судьи не страдает психическими заболеваниями.

Закон РФ от 26.06.1992 N 3132-1 (ред. от 28.12.2016) "О статусе судей в Российской Федерации"

Статья 4. Требования, предъявляемые к кандидатам на должность судьи

(в ред. Федерального закона от 25.12.2008 N 274-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. Судьей может быть гражданин Российской Федерации:

1) имеющий высшее юридическое образование по специальности "Юриспруденция" или высшее образование по направлению подготовки "Юриспруденция" квалификации (степени) "магистр" при наличии диплома бакалавра по направлению подготовки "Юриспруденция";

(пп. 1 в ред. Федерального закона от 06.04.2015 N 69-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2) не имеющий или не имевший судимости либо уголовное преследование в отношении которого прекращено по реабилитирующим основаниям;

3) не имеющий гражданства иностранного государства либо вида на жительство или иного документа, подтверждающего право на постоянное проживание гражданина Российской Федерации на территории иностранного государства;

4) не признанный судом недееспособным или ограниченно дееспособным;

5) не состоящий на учете в наркологическом или психоневрологическом диспансере в связи с лечением от алкоголизма, наркомании, токсикомании, хронических и затяжных психических расстройств;

6) не имеющий иных заболеваний, препятствующих осуществлению полномочий судьи.

2. При соответствии требованиям, предусмотренным пунктом 1 настоящей статьи:

1) судьей Конституционного Суда Российской Федерации может быть гражданин, достигший возраста 40 лет и имеющий стаж работы в области юриспруденции не менее 15 лет;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2) судьей Верховного Суда Российской Федерации может быть гражданин, достигший возраста 35 лет и имеющий стаж работы в области юриспруденции не менее 10 лет;

(в ред. Федеральных законов от 02.07.2013 N 185-ФЗ, от 12.03.2014 N 29-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3) судьей верховного суда республики, краевого, областного суда, суда города федерального значения, суда автономной области, суда автономного округа, окружного (флотского) военного суда, арбитражного суда округа, арбитражного апелляционного суда, специализированного арбитражного суда может быть гражданин, достигший возраста 30 лет и имеющий стаж работы в области юриспруденции не менее 7 лет;

(в ред. Федеральных законов от 08.12.2011 N 422-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ, от 12.03.2014 N 29-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

4) судьей арбитражного суда субъекта Российской Федерации, конституционного (уставного) суда субъекта Российской Федерации, районного суда, гарнизонного военного суда, а также мировым судьей может быть гражданин, достигший возраста 25 лет и имеющий стаж работы в области юриспруденции не менее 5 лет.

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Федеральным конституционным законом и федеральным законом могут быть установлены дополнительные требования к кандидатам на должность судьи судов Российской Федерации.

4. Кандидатом на должность судьи не может быть лицо, подозреваемое или обвиняемое в совершении преступления.

5. В стаж работы в области юриспруденции, необходимый для назначения на должность судьи, включается время работы:

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1) на требующих высшего юридического образования государственных должностях Российской Федерации, государственных должностях субъектов Российской Федерации, должностях государственной службы, муниципальных должностях, должностях в существовавших до принятия Конституции Российской Федерации государственных органах СССР, союзных республик СССР, РСФСР и Российской Федерации, должностях в юридических службах организаций, должностях в научных организациях;

2) в качестве преподавателя юридических дисциплин по профессиональным образовательным программам, в качестве адвоката или нотариуса.