Что делать, если работодатель не заключает договор и не оплачивает стажировку?

Скорее всего в данном случае речь идет об ученическом договоре

Статья 198. Ученический договор

ГАРАНТ:

См. Энциклопедии и другие комментарии к статье 198 ТК РФ

Работодатель - юридическое лицо (организация) имеет право заключать с лицом, ищущим работу, или с работником данной организации ученический договор на получение образования без отрыва или с отрывом от работы.

Ученический договор с работником данной организации является дополнительным к трудовому договору.

Информация об изменениях:

Федеральным законом от 2 июля 2013 г. N 185-ФЗ в статью 199 настоящего Кодекса внесены изменения, вступающие в силу с 1 сентября 2013 г.

См. текст статьи в предыдущей редакции

Статья 199. Содержание ученического договора

ГАРАНТ:

См. Энциклопедии и другие комментарии к статье 199 ТК РФ

Ученический договор должен содержать: наименование сторон; указание на конкретную квалификацию, приобретаемую учеником; обязанность работодателя обеспечить работнику возможность обучения в соответствии с ученическим договором; обязанность работника пройти обучение и в соответствии с полученной квалификацией проработать по трудовому договору с работодателем в течение срока, установленного в ученическом договоре; срок ученичества; размер оплаты в период ученичества.

Ученический договор может содержать иные условия, определенные соглашением сторон.

Система ГАРАНТ: base.garant.ru

Статья 205. Распространение на учеников трудового законодательства

ГАРАНТ:

См. комментарии к статье 205 ТК РФ

На учеников распространяется трудовое законодательство, включая законодательство об охране труда.

Система ГАРАНТ: base.garant.ru

Статья 204. Оплата ученичества

ГАРАНТ:

См. Энциклопедии и другие комментарии к статье 204 ТК РФ

Ученикам в период ученичества выплачивается стипендия, размер которой определяется ученическим договором и зависит от получаемой квалификации, но не может быть ниже установленного федеральным законом минимального размера оплаты труда.

Работа, выполняемая учеником на практических занятиях, оплачивается по установленным расценкам.

Система ГАРАНТ: base.garant.ru

либо своего рода испытательный срок. И в том и в другом случае за выполненную работу вам должны платить.