Не получив зарплату на второй работе до июля, хочу дать доверенность сестре, заверенную руководством первой работы

Думаю, что нет.

Статья 185. Доверенность

4. Доверенность на получение заработной платы и иных платежей, связанных с трудовыми отношениями, на получение вознаграждения авторов и изобретателей, пенсий, пособий и стипендий, вкладов граждан в банках и на получение корреспонденции, в том числе денежной и посылочной, может быть удостоверена также организацией, в которой доверитель работает или учится, жилищно-эксплуатационной организацией по месту его жительства и администрацией стационарного лечебного учреждения, в котором он находится на излечении.

Доверенность на получение представителем гражданина его вклада в банке, денежных средств с его банковского счета, адресованной ему корреспонденции в организациях связи, а также на совершение от имени гражданина иных сделок, указанных в абзаце первом настоящего пункта, может быть удостоверена соответствующими банком или организацией связи. Такая доверенность удостоверяется бесплатно.

Как я понимаю, имеется в виду тот случай, что получают зарплату у того же работодателя, что и заверяет.

Но может созвонитесь с второй организацией и они вам что-нибудь предложат. Можно ведь и на карточку или книжку перечислить - вариантов много и без доверенности.