Отпускные после увольнения - нужно ли отрабатывать дни при больничном по уходу за ребёнком?

Нет. Статья 80 Трудового кодекса Российской Федерации предусматривает не отработку, а предупреждение работодателя об увольнении за две недели. Это время вы вправе провести в отпуске либо на больничном при наличии на то оснований. Были официальные разъяснения по этому поводу в письме Федеральной Службы по труду и занятости от 5 сентября 2006 г. N 1551-6, согласно которому:

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме за две недели.

Предупредить работодателя об увольнении работник может не только в период работы, но и в период нахождения в отпуске и в период временной нетрудоспособности. При этом дата предполагаемого увольнения может приходиться также на указанные периоды.

Трудовой кодекс не содержит препятствий для подачи заявления об увольнении по собственному желанию в любой форме, в том числе путем направления его по почте. Таким образом, работник может направить работодателю соответствующее заявление, к примеру, заказным письмом.

Правило, изложенное в ст. 81 Кодекса, согласно которому не допускается увольнение работника в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске, применяется только для случаев увольнения по инициативе работодателя

В этой связи просто подайте заявление об увольнении, обзаведясь фактом его подачи в виде отметки о принятии на Вашей копии заявления, а если это невозможно, то направив почтой России ценным письмом с уведомлением о вручении и описью вложения. Выждите 14 дней после получения и требуйте назад трудовую книжку и окончательный расчет.