Как ей лучше сделать, написать завещание или сделать дарственную?

Ирина, если Ваша мама при жизни подарит квартиру, то она сразу перестанет быть собственником. В таком случае Вашу маму - одаряемые могут выселить (и такое бывает).

При завещании - мама остаётся собственником при жизни, а квартира наследуется после её смерти.

Дарение - составляется договор дарения и сдаётся для регистрации в Управление Росреестра.

Завещание - мама приходит к нотариусу, и пишет завещание.

Да никаких проблем у Вас с сыном - не будет.

С Уважением,