Что делать при отказе в увольнении по контракту?

Запись об увольнении с военной службы в военном билете должны сделать все-таки в воинской части. Это указывается в Порядке ведения и хранения военного билета (приложение № 8 к Инструкции по обеспечению функционирования системы воинского учета граждан Российской Федерации, утвержденной Приказом МО РФ от 19 ноября 2007 г. № 500).

Но если строевая так упорствуют в своем нежелании, то ничего страшного в этом нет - действительно, в военкомате также могут сделать такую запись (после чего теоретически... должны послать служебное письмо на имя командира части с описанием этой недоработки его подчиненных).

Единственное что можно посоветовать в данном случае, обязательно получите предписание о постановке на воинский учет (в ВВ МВД как правило это называется проходным свидетельством), и по возможности "договоритесь" о том, чтобы Вам выдали личное дело на руки для доставки его в военкомат (а то будите ждать несколько месяцев пока оно придет почтой).

Что касается записи в Трудовой книжке, то тут они правы, эту запись вам должны сделать при устройстве на работу т.к. ст.21 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей (утвержденного постановлением Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. № 225) гласит:

"В трудовую книжку по месту работы также вносится с указанием соответствующих документов запись:

а) о времени военной службы в соответствии с Федеральным законом "О воинской обязанности и военной службе", а также о времени службы в органах внутренних дел, органах налоговой полиции, органах по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ и таможенных органах;