Может ли четвертый наследник вступить в наследство, если не написал заявление?

Могут, если они не рассказала про 4 го наследника нотариусу, то он может выдать свидетельство о наследстве на троих наследников;

"Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)" от 26.11.2001 N 146-ФЗ (ред. от 28.03.2017)

""Статья 1161. Приращение наследственных долей

""1. Если наследник не примет наследство, откажется от наследства, не указав при этом, что отказывается в пользу другого наследника (статья 1158), не будет иметь права наследовать или будет отстранен от наследования по основаниям, установленным статьей 1117 настоящего Кодекса, либо вследствие недействительности завещания, часть наследства, которая причиталась бы такому отпавшему наследнику, переходит к наследникам по закону, призванным к наследованию, пропорционально их наследственным долям.

""Однако в случае, когда наследодатель завещал все имущество назначенным им наследникам, часть наследства, причитавшаяся наследнику, отказавшемуся от наследства или отпавшему по иным указанным основаниям, переходит к остальным наследникам по завещанию пропорционально их наследственным долям, если только завещанием не предусмотрено иное распределение этой части наследства.

2. Правила, содержащиеся в пункте 1 настоящей статьи, не применяются, если наследнику, отказавшемуся от наследства или отпавшему по иным основаниям, подназначен наследник (пункт 2 статьи 1121).