Является ли снятие с учёта на бирже труда в Москве законным или добровольным обязательством?

Не могут такого требовать.

Регистрации подлежат граждане, зарегистрированные в целях поиска подходящей работы в соответствии с Правилами регистрации граждан в целях поиска подходящей работы, утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 7 сентября 2012 г. N 891 (далее - зарегистрированные граждане), в отношении которых государственными учреждениями службы занятости населения в установленном порядке приняты решения о признании их безработными.

7. Постановка на регистрационный учет безработных граждан осуществляется путем внесения в регистр получателей государственных услуг в сфере занятости населения - физических лиц сведений о признании указанных граждан безработными.

8. При постановке на регистрационный учет безработных граждан государственные учреждения службы занятости населения письменно (под роспись) уведомляют их о признании безработными и постановке на регистрационный учет.

13. Государственные учреждения службы занятости населения устанавливают безработным гражданам сроки посещения (не более 2 раз в месяц) для подбора им подходящей работы.

18. Безработные граждане письменно (под роспись) уведомляются о дате следующего посещения государственного учреждения службы занятости населения для подбора подходящей работы.

20. Снятие с регистрационного учета безработных граждан осуществляется государственными учреждениями службы занятости населения в следующих случаях:

а) признание гражданина занятым по основаниям, предусмотренным статьей 2 Закона Российской Федерации "О занятости населения в Российской Федерации";

б) прохождение профессионального обучения или получение дополнительного профессионального образования по направлению государственных учреждений службы занятости населения с выплатой стипендии;

в) длительная (более 1 месяца со дня последнего посещения государственного учреждения службы занятости населения для регистрационного учета и подбора подходящей работы) неявка в государственное учреждение службы занятости населения без уважительных причин;

г) переезд, переселение в другую местность;

д) попытка получения либо получение пособия по безработице обманным путем;

е) осуждение к исправительным работам, а также к наказанию в виде лишения свободы;

ж) назначение пенсии, предусмотренной пунктом 2 статьи 32 Закона Российской Федерации "О занятости населения в Российской Федерации", либо назначение страховой пенсии по старости, в том числе досрочно, либо назначение пенсии по старости или пенсии за выслугу лет по государственному пенсионному обеспечению;

з) отказ от посредничества государственного учреждения службы занятости населения (по личному письменному заявлению безработного гражданина);

и) смерть безработного гражданина.

22. Государственные учреждения службы занятости населения письменно в форме почтового отправления уведомляют безработных граждан о снятии их с регистрационного учета в 3-дневный срок со дня снятия с регистрационного учета.