Как мы решили проблему с детским присмотром, отправляясь на полевые учения вместе с маленьким сыном

Безвыходных положений не бывает.

Статья 11 ТК РФ говорит -

Трудовое законодательство и иные акты, содержащие нормы трудового права, не распространяются на следующих лиц (если в установленном настоящим Кодексом порядке они одновременно не выступают в качестве работодателей или их представителей):

военнослужащие при исполнении ими обязанностей военной службы;

Однако -

п.9 ст.10 Федерального закона "О статусе военнослужащих" гласит -

9. Военнослужащие женского пола и военнослужащие, воспитывающие детей без отца (матери), пользуются социальными гарантиями и компенсациями в соответствии с федеральными законами и иными нормативными правовыми актами об охране семьи, материнства и детства.

А следовательно, применяются ч.ч.1-2 ст.259 ТК РФ -

Направление в служебные командировки, привлечение к сверхурочной работе, работе в ночное время, выходные и нерабочие праздничные дни женщин, имеющих детей в возрасте до трех лет, допускаются только с их письменного согласия и при условии, что это не запрещено им в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации. При этом женщины, имеющие детей в возрасте до трех лет, должны быть ознакомлены в письменной форме со своим правом отказаться от направления в служебную командировку, привлечения к сверхурочной работе, работе в ночное время, выходные и нерабочие праздничные дни.

Если Вашему ребенку еще не исполнилось трех лет, то Ваша ситуация подпадает под описываемую норму закона.

Если же ребенку исполнилось три года, в данном случае применима ч.3 ст.259 ТК РФ -

Гарантии, предусмотренные частью второй настоящей статьи, предоставляются также матерям и отцам, воспитывающим без супруга (супруги) детей в возрасте до пяти лет, работникам, имеющим детей-инвалидов, и работникам, осуществляющим уход за больными членами их семей в соответствии с медицинским заключением.

То есть - опираться на ч.3 данной статьи допустимо - при отсутствии зарегистрированных брачных отношений, если брак на момент подачи заявления расторгнут, если ребенок заболел и имеется медицинское заключение.