Могу ли я уволиться в трёхдневный срок, если переезжаю в другой город и нужно менять регистрацию по месту жительства.

Если не на испытательном сроке, то нет. Согласно статье 71 Трудового кодекса РФ «если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня».

В остальных случаях уволиться без двухнедельного предупреждения можно либо по соглашению сторон (ст.80 Трудового кодекса РФ), либо (при наличии оснований) сослаться на статью 80 Трудового кодекса РФ, согласно которой в случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Трудовой кодекс РФ предусматривает возможность увольнения в сокращенные сроки, но по согласованию с работодателей. В противном случае уволиться Вы сможете только через 2 недели после подачи заявления.