Влияет ли задолженность у ФССП на возможность командировки за границу?

Вполне возможно, что у вас стоит запрет на выезд из РФ.

Для того, чтобы снять запрет на выезд вам необходимо обратиться с заявлением к судебному приставу-исполнителю, который ведет исполнительное производство в отношении вас, о снятии запрета на выезд в связи с тем, что ваша деятельность связана с выездами в командировку за границу и является единственным источником дохода. К заявлению необходимо приложить контракт (копию), приказ о направлении вас в командировку.

Позаботьтесь о снятии запрета заблаговременно, недели за две до выезда.