Потеряла в бане кольцо, могу ли я обратиться в ломбарды, чтобы мне сообщили, если принесут мое кольцо.

Конечно, можете. Но ломбарды не буду обязаны сообщать Вам эту информацию, могут делать только по своей доброй воле. В тоже время Вы вправе обратиться в полицию о краже потерянного Вами кольца, тогда можно надеяться на внесение сведений о кольце в базы данных МВД похищенного имущества, на периодическую проверку полицией ломбардов на наличие у них Вашего кольца.