Кто должен делать запросы в архив в досудебный период - истец или суд?

Это как Вы хотите, обязанности в досудебном порядке это делать нет. Можете в суде заявить ходатайство о предоставлении документов.

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 27.06.2018)

""Статья 57. Представление и истребование доказательств

""1. Доказательства представляются сторонами и другими лицами, участвующими в деле. Суд вправе предложить им представить дополнительные доказательства. В случае, если представление необходимых доказательств для этих лиц затруднительно, суд по их ходатайству оказывает содействие в собирании и истребовании доказательств.

""2. В ходатайстве об истребовании доказательства должно быть обозначено доказательство, а также указано, какие обстоятельства, имеющие значение для правильного рассмотрения и разрешения дела, могут быть подтверждены или опровергнуты этим доказательством, указаны причины, препятствующие получению доказательства, и место нахождения доказательства. Суд выдает стороне запрос для получения доказательства или запрашивает доказательство непосредственно. Лицо, у которого находится истребуемое судом доказательство, направляет его в суд или передает на руки лицу, имеющему соответствующий запрос, для представления в суд.

""3. Должностные лица или граждане, не имеющие возможности представить истребуемое доказательство вообще или в установленный судом срок, должны известить об этом суд в течение пяти дней со дня получения запроса с указанием причин. В случае неизвещения суда, а также в случае невыполнения требования суда о представлении доказательства по причинам, признанным судом неуважительными, на виновных должностных лиц или на граждан, не являющихся лицами, участвующими в деле, налагается штраф - на должностных лиц в размере до одной тысячи рублей, на граждан - до пятисот рублей.

""4. Наложение штрафа не освобождает соответствующих должностных лиц и граждан, владеющих истребуемым доказательством, от обязанности представления его суду.

"