В течение какого времени должны сообщить, что начато уголовное дело? С момента подачи заявления в полицию прошёл месяц.

Решение должно быть принято в течении 3-30 суток максимум, обычно 3-10 суток

ст 144 УПК

Дознаватель, орган дознания, следователь, руководитель следственного органа обязаны принять, проверить сообщение о любом совершенном или готовящемся преступлении и в пределах компетенции, установленной настоящим Кодексом, принять по нему решение в срок не позднее 3 суток со дня поступления указанного сообщения

Руководитель следственного органа, начальник органа дознания вправе по мотивированному ходатайству соответственно следователя, дознавателя продлить до 10 суток срок, установленный частью первой настоящей статьи. При необходимости производства документальных проверок, ревизий, судебных экспертиз, исследований документов, предметов, трупов, а также проведения оперативно-розыскных мероприятий руководитель следственного органа по ходатайству следователя, а прокурор по ходатайству дознавателя вправе продлить этот срок до 30 суток с обязательным указанием на конкретные, фактические обстоятельства, послужившие основанием для такого продления.

ст 145 УПК

По результатам рассмотрения сообщения о преступлении орган дознания, дознаватель, следователь, руководитель следственного органа принимает одно из следующих решений:

(в ред. Федеральных законов от 05.06.2007 N 87-ФЗ, от 02.12.2008 N 226-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1) о возбуждении уголовного дела в порядке, установленном статьей 146 настоящего Кодекса;

3) о передаче сообщения по подследственности в соответствии со статьей 151 настоящего Кодекса, а по уголовным делам частного обвинения - в суд в соответствии с частью второй статьи 20 настоящего Кодекса.