Возможно ли оставаться на бирже труда после снятия с учета в центре занятости приближающемся пенсионном возрасте?

Похоже, спрашиваете об указанном периоде, когда не выплачивается пособие по безработице. С учета в самом органе занятости - гражданин не снимается.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 03.07.2018) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 31. Условия и сроки выплаты пособия по безработице

1. Пособие по безработице выплачивается гражданам, признанным в установленном порядке безработными.

2. Решение о назначении пособия по безработице принимается одновременно с решением о признании гражданина безработным.

3. Пособие по безработице начисляется гражданам с первого дня признания их безработными.

Гражданам, уволенным в связи с ликвидацией организации либо прекращением деятельности индивидуальным предпринимателем, сокращением численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя, признанным в установленном порядке безработными, но не трудоустроенным в период, в течение которого за ними по последнему месту работы сохраняется средняя заработная плата (с зачетом выходного пособия), пособие по безработице начисляется начиная с первого дня по истечении указанного периода.

4. Каждый период выплаты пособия по безработице гражданам, признанным в установленном порядке безработными, в том числе гражданам, уволенным в течение 12 месяцев, предшествовавших началу безработицы, с военной службы по призыву в связи с истечением ее срока и имевшим до увольнения в связи с призывом на военную службу оплачиваемую работу не менее 26 недель на условиях полного рабочего дня (полной рабочей недели) или на условиях неполного рабочего дня (смены) и (или) неполной рабочей недели с пересчетом на 26 недель с полным рабочим днем (полной рабочей неделей), не может превышать 12 месяцев в суммарном исчислении в течение 18 месяцев, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Законом.

Для граждан, впервые ищущих работу (ранее не работавших); стремящихся возобновить трудовую деятельность после длительного (более одного года) перерыва; уволенных за нарушение трудовой дисциплины или другие виновные действия, предусмотренные законодательством Российской Федерации; уволенных по любым основаниям в течение 12 месяцев, предшествовавших началу безработицы, и имевших в этот период оплачиваемую работу менее 26 недель, а также для граждан, направленных органами службы занятости на обучение и отчисленных за виновные действия, каждый период выплаты пособия по безработице не может превышать шесть месяцев в суммарном исчислении в течение 12 месяцев. При этом общий период выплаты пособия по безработице для этих категорий граждан не может превышать 12 месяцев в суммарном исчислении в течение 18 месяцев.

5. Безработные граждане, не трудоустроенные по истечении первого периода выплаты пособия по безработице, имеют право на повторное получение пособия по безработице, если иное не предусмотрено настоящим Законом.