Сотрудник просит уволиться по собственному желанию, но директор ожидает оригинал заявления. Что делать?

Во-первых, ТК РФ не предусматривает такого понятия как отработка. Работник уведомляет работодателя об увольнении. То есть в течение этих двух недель он может взять отпуск, больничный, быть свидетелем в суде, быть донором крови и т.д. При этом срок уведомления не меняется.

Во-вторых, тут есть одна техническая деталь: как Вы уведомляли работодателя о намерении уволиться по собственному желанию. Я об этом уже писал выше.

Если Вы подали заявление лично через канцелярию, то Вам надо было получить отметку о вручении на втором экземпляре заявления об увольнении. В противном случае Ваше заявление может "потеряться" и Вы не докажете, что подавали его без второго экземпляра с отметкой о вручении. Дата уведомления будет определяться датой, указанной делопроизводителем на Вашем втором экземпляре, либо датой регистрации в журнале учета входящей документации (в случае Вашего обращения в суд этот журнал с легкостью может быть переписан, так что надеяться на это нельзя).

Если Вы отправляли уведомление заказным письмом с уведомлением, то дата уведомления будет определяться датой вручения по уведомлению.

У Вас есть письменные подтверждения даты подачи уведомления работодателю?

Поговорите еще раз с ними, запишите разговор с ними на диктофон для фиксации факта нарушения прав, подайте заявление об увольнении в 2-х эк, на втором просите отметку для себя (дата, подпись, расшифровка). И будьте спокойны. Скажите, что жалобу на них в трудовую инспекцию напишите, имеете право, а диктофонную запись приложите к жалобе.