Правомерно ли требовать от работника культуры оплатить самому свои курсы повышения квалификации?

Неправомерно!

ТК РФ Статья 187. Гарантии и компенсации работникам, направляемым работодателем на профессиональное обучение или дополнительное профессиональное образование, на прохождение независимой оценки квалификации

При направлении работодателем работника на профессиональное обучение или дополнительное профессиональное образование, на прохождение независимой оценки квалификации на соответствие положениям профессионального стандарта или квалификационным требованиям, установленным федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации (далее - независимая оценка квалификации), с отрывом от работы за ним сохраняются место работы (должность) и средняя заработная плата по основному месту работы. Работникам, направляемым на профессиональное обучение или дополнительное профессиональное образование, на прохождение независимой оценки квалификации с отрывом от работы в другую местность, производится оплата командировочных расходов в порядке и размерах, которые предусмотрены для лиц, направляемых в служебные командировки.

При направлении работодателем работника на прохождение независимой оценки квалификации оплата прохождения такой оценки осуществляется за счет средств работодателя.