Требования сотрудников МАДИ по использованию авто с лицензией на такси - правомерны ли они и как поступать при эвакуации?

Правомерно.

В соответствии с п. 1 ст. 9 Федерального закона от 21 апреля 2011 г. N 69-ФЗ "О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации", ст. 1 Закона г. Москвы от 11 июня 2008 г. N 22 "О такси в городе Москве" деятельность по перевозке пассажиров и багажа легковым такси осуществляется при условии получения юридическим лицом или индивидуальным предпринимателем разрешения на осуществление деятельности по перевозке пассажиров и багажа легковым такси (далее - разрешение). Заявитель для получения разрешения своей подписью подтверждает соответствие транспортного средства, которое предполагается использовать для оказания услуг по перевозке пассажиров и багажа легковым такси, требованиям, установленным настоящим Федеральным законом и принимаемым в соответствии с ним законом субъекта Российской Федерации.

Согласно п. 3 ст. 9 названного выше Федерального закона разрешение выдается на каждое транспортное средство, используемое в качестве легкового такси. В отношении одного транспортного средства вне зависимости от правовых оснований владения заявителем транспортными средствами, которые предполагается использовать в качестве легкового такси, может быть выдано только одно разрешение.

Тем самым Вы по собственной инициативе приняли на себя обязательства по соблюдению соответствующих требований законодательства в сфере перевозок пассажиров и багажа.

А потому это ТС использовать в личных целях не вправе.

Использование транспортного средства без пассажиров и багажа не освобождает от обязанности по соблюдению требований Правил перевозок пассажиров и багажа автомобильным транспортом и городским наземным электрическим транспортом.

Иметь все документы, во всех поездках.