Должен ли судебный пристав приостановить исполнительное производство и зарегистрировать это в банке исполнительных производств в случае предоставления рассрочки исполнения решения?

Начнем с конца вопроса: в банке исполнительных производств отображается только момент возбуждения и прекращения ИП.

Статья 37 закона "Об исполнительном производстве". Предоставление отсрочки или рассрочки исполнения судебных актов, актов других органов и должностных лиц, изменение способа и порядка их исполнения

3. В случае предоставления должнику рассрочки исполнения судебного акта, акта другого органа или должностного лица исполнительный документ исполняется в той части и в те сроки, которые установлены в акте о предоставлении рассрочки.

Рассрочка исполнения решения суда - это получение возможности исполнить требования, изложенные в решении суда не сразу, а поэтапно, т.е в сроки, указанные в решении суда о рассрочке. Тут не надо путать рассрочку исполнения решения суда с отсрочкой исполнения решения суда. Соответственно исполнительное производство при рассрочке исполнения решения суда не "приостанавливается". Судебный пристав обязан исполнить решение суда, в том числе и в виде определения о предоставлении рассрочки исполнения решения.

Статья 204 ГПК РФ. Определение порядка и срока исполнения решения суда, обеспечения его исполнения.

В случае, если суд устанавливает определенные порядок и срок исполнения решения суда, обращает решение суда к немедленному исполнению или принимает меры по обеспечению его исполнения, на это указывается в резолютивной части решения суда.

Статья 38 ФЗ "Об исполнительном производстве". Отложение исполнительных действий и применения мер принудительного исполнения

1. Судебный пристав-исполнитель вправе отложить исполнительные действия и применение мер принудительного исполнения по заявлению взыскателя или по собственной инициативе на срок не более десяти дней.

2. Судебный пристав-исполнитель обязан отложить исполнительные действия и применение мер принудительного исполнения на основании судебного акта, а также в иных случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом.