Можно ли поехать в Москву без миграционной карты, если регистрация в институте?

Не получая особого разрешения, гражданам СНГ погостить можно до 90 дней в течение каждого полугодия (180 суток). Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 20.04.2014) «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» регулирует все документальные и правовые аспекты пересечения границы РФ. Миграционная карта должна быть постоянно с вами.

Нет. Согласно п.2 Правил использования миграционной карты (утв. постановлением Правительства РФ от 16 августа 2004 г. N 413) миграционная карта является документом, который содержит сведения об иностранном гражданине, въезжающем в Российскую Федерацию, а также служит для контроля за его временным пребыванием в Российской Федерации.

Если у Вас ее забирают, то поехать в Москву без нее Вы не можете.

Нет, не можете поехать без миграционной карты. Это обязательное требование закона - оформление миграционной карты. И то,что её забирают - вполне правомерно.

Федеральный закон от 18.07.2006 N 109-ФЗ (ред. от 11.10.2018) "О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации"п.2 Правил использования миграционной карты (утв. постановлением Правительства РФ от 16 августа 2004 г. N 413

Конечно можете поехать в Москву или в любой другой город, поскольку вы находитесь на территории РФ законно. При этом не нужно иметь при себе миграционную карту.

Статья 27 Конституции РФ

1. Каждый, кто законно находится на территории Российской Федерации, имеет право свободно передвигаться, выбирать место пребывания и жительства.