Правомерно ли запретить доступ к спортивной площадке в коттеджном поселке? Администрация имеет право ограничить?

Скорее всего правомерно Вас не пускают, т.к. это территория садового товарищества или дачного кооператива, т.е. имущество общего пользования членов товарищества или кооператива. А члены товарищества или кооператива вправе решить на общем собрании, что не члены кооператива (или их гости) на такую площадку не допускаются и установить правила пользования этим имуществом (площадкой). Смотрите ч. 5 ст. 2 Федерального закона от 29 июля 2017 г. N 217-ФЗ

"О ведении гражданами садоводства и огородничества для собственных нужд и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации"

"5) имущество общего пользования - расположенные в границах территории ведения гражданами садоводства или огородничества для собственных нужд объекты капитального строительства и земельные участки общего назначения, использование которых может осуществляться исключительно для удовлетворения потребностей граждан, ведущих садоводство и огородничество (проход, проезд, снабжение тепловой и электрической энергией, водой, газом, водоотведение, охрана, сбор твердых коммунальных отходов и иные потребности), а также движимые вещи, созданные (создаваемые) или приобретенные для деятельности садоводческого или огороднического некоммерческого товарищества (далее также - товарищество);..."

Так что советую письменно обратиться к руководству дачного кооператива или товарищества с просьбой о разрешении пользования площадкой.