Подскажите, пожалуйста, можно ли ребенку в такой ситуации оформить постоянную прописку у опекуна-бабушки?

Я не вижу проблем с тем, чтобы ребенок был прописан постоянно с бабушкой. Согласно ст.20 Гражданского кодекса РФ местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов. Если вам отказывают - обжалуйте отказ в судебном порядке.

Исчерпывающий перечень оснований для лишения родительских прав содержит ст.69 Семейного кодекса РФ. В частности, родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иного лечебного учреждения, воспитательного учреждения, учреждения социальной защиты населения или из других аналогичных учреждений;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей либо против жизни или здоровья супруга.

Т.о. для лишения родительских прав нужны очень веские доказательства. Дела о лишении родительских прав рассматриваются с участием прокурора и органа опеки и попечительства.

С уважением,